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수학은 숫자, 패턴, 공간, 구조, 변화 등을 다루는 학문으로, 우리가 세상을 이해하고 문제를 해결하는 데 사용되는 강력한 도구입니다. 수학은 다양한 분야로 나뉘며, 각 분야는 특정한 문제를 다루기 위한 방법과 이론을 제공합니다. 여기에는 대수학, 기하학, 미적분학, 통계학, 이산수학 등이 포함됩니다.
기본 수학 공식: 기초부터 고급까지 수학은 우리 일상과 학문, 과학 기술 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 기본 수학 공식은 복잡한 문제를 해결하는 데 필요한 도구로, 이를 잘 이해하고 활용하는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 기초적인 수학 공식부터 고급 수학 공식까지 다양하게 살펴보겠습니다.
1. 산술의 기본 공식 덧셈과 뺄셈 덧셈 공식: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 a+b=c 예: 2 + 3 = 5 2+3=5 뺄셈 공식: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 a−b=c 예: 5 − 3 = 2 5−3=2 곱셈과 나눗셈 곱셈 공식: 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 a×b=c 예: 2 × 3 = 6 2×3=6 나눗셈 공식: 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 a÷b=c 예: 6 ÷ 3 = 2 6÷3=2
2. 기하학의 기본 공식 면적 사각형의 면적: 𝐴 = 𝑙 × 𝑤 A=l×w 예: 길이가 5, 폭이 3인 사각형의 면적: 5 × 3 = 15 5×3=15 삼각형의 면적: 𝐴 = 1 2 × 𝑏 × ℎ A= 2 1 ×b×h 예: 밑변이 4, 높이가 3인 삼각형의 면적: 1 2 × 4 × 3 = 6 2 1 ×4×3=6 원의 면적: 𝐴 = 𝜋 × 𝑟 2 A=π×r 2 예: 반지름이 3인 원의 면적: 𝜋 × 3 2 = 9 𝜋 π×3 2 =9π 둘레 사각형의 둘레: 𝑃 = 2 𝑙 + 2 𝑤 P=2l+2w 예: 길이가 5, 폭이 3인 사각형의 둘레: 2 × 5 + 2 × 3 = 16 2×5+2×3=16 원의 둘레: 𝐶 = 2 𝜋 × 𝑟 C=2π×r 예: 반지름이 3인 원의 둘레: 2 𝜋 × 3 = 6 𝜋 2π×3=6π
3. 대수학의 기본 공식 방정식 일차방정식: 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 ax+b=0 해: 𝑥 = − 𝑏 𝑎 x=− a b 예: 2 𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 = − 3 2 2x+3=0→x=− 2 3 이차방정식 이차방정식: 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0 ax 2 +bx+c=0 해: 𝑥 = − 𝑏 ± 𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 2 𝑎 x= 2a −b± b 2 −4ac 예: 𝑥 2 − 3 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = 1 또는 𝑥 = 2 x 2 −3x+2=0→x=1 또는 x=2 다항식 곱셈 공식: ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎 2 − 𝑏 2 (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 예: ( 3 + 2 ) ( 3 − 2 ) = 3 2 − 2 2 = 9 − 4 = 5 (3+2)(3−2)=3 2 −2 2 =9−4=5 완전제곱 공식: ( 𝑎 + 𝑏 ) 2 = 𝑎 2 + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 예: ( 2 + 3 ) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25 (2+3) 2 =2 2 +2×2×3+3 2 =4+12+9=25
4. 삼각함수의 기본 공식 삼각함수는 삼각형의 각과 변의 길이 사이의 관계를 나타냅니다. 기본 삼각함수 사인(Sine): sin 𝜃 = 대각선의 길이 빗변의 길이 sinθ= 빗변의 길이 대각선의 길이 코사인(Cosine): cos 𝜃 = 인접변의 길이 빗변의 길이 cosθ= 빗변의 길이 인접변의 길이 탄젠트(Tangent): tan 𝜃 = 대각선의 길이 인접변의 길이 tanθ= 인접변의 길이 대각선의 길이 피타고라스의 정리 피타고라스의 정리: 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 a 2 +b 2 =c 2 예: 한 변이 3, 다른 변이 4인 직각삼각형의 빗변: 3 2 + 4 2 = 𝑐 2 → 9 + 16 = 𝑐 2 → 𝑐 = 5 3 2 +4 2 =c 2 →9+16=c 2 →c=5
5.로그와 지수 지수 법칙 곱셈: 𝑎 𝑚 × 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 + 𝑛 a m ×a n =a m+n 예: 2 3 × 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5 = 32 2 3 ×2 2 =2 3+2 =2 5 =32 나눗셈: 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 − 𝑛 a n a m =a m−n 예: 2 5 2 2 = 2 5 − 2 = 2 3 = 8 2 2 2 5 =2 5−2 =2 3 =8 거듭제곱: ( 𝑎 𝑚 ) 𝑛 = 𝑎 𝑚 𝑛 (a m ) n =a mn 예: ( 2 2 ) 3 = 2 2 × 3 = 2 6 = 64 (2 2 ) 3 =2 2×3 =2 6 =64 로그 법칙 기본 로그 법칙: log 𝑏 ( 𝑥 𝑦 ) = log 𝑏 𝑥 + log 𝑏 𝑦 log b (xy)=log b x+log b y 예: log 2 ( 8 × 4 ) = log 2 8 + log 2 4 = 3 + 2 = 5 log 2 (8×4)=log 2 8+log 2 4=3+2=5 거듭제곱로그 법칙: log 𝑏 ( 𝑥 𝑦 ) = 𝑦 log 𝑏 𝑥 log b (x y )=ylog b x 예: log 2 ( 8 2 ) = 2 log 2 8 = 2 × 3 = 6 log 2 (8 2 )=2log 2 8=2×3=6 나눗셈 로그 법칙: log 𝑏 ( 𝑥 𝑦 ) = log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 𝑦 log b ( y x )=log b x−log b y 예: log 2 ( 8 4 ) = log 2 8 − log 2 4 = 3 − 2 = 1 log 2 ( 4 8 )=log 2 8−log 2 4=3−2=1
6. 확률과 통계의 기본 공식 평균과 중앙값 산술 평균: 평균 = ∑ 𝑥 𝑛 평균= n ∑x 예: 데이터 세트 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {1,2,3,4,5}의 평균: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 5 = 3 5 1+2+3+4+5 =3 중앙값: 데이터 세트의 가운데 값 예: 데이터 세트 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {1,2,3,4,5}의 중앙값: 3 3 표준편차 표준편차: 𝜎 = ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑁 σ= N ∑(x i −μ) 2 예: 데이터 세트 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {1,2,3,4,5}의 표준편차 계산 평균 𝜇 = 3 μ=3 ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝜇 ) 2 = ( 1 − 3 ) 2 + ( 2 − 3 ) 2 + ( 3 − 3 ) 2 + ( 4 − 3 ) 2 + ( 5 − 3 ) 2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 ∑(x i −μ) 2 =(1−3) 2 +(2−3) 2 +(3−3) 2 +(4−3) 2 +(5−3) 2 =4+1+0+1+4=10 표준편차 𝜎 = 10 5 = 2 σ= 5 10 = 2
7. 미적분의 기본 공식 미분 미분의 기본 공식: 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = lim ℎ → 0 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ f ′ (x)=lim h→0 h f(x+h)−f(x) 예: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 f(x)=x 2 의 미분: 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 2 𝑥 f ′ (x)=2x 적분 정적분: ∫ 𝑎 𝑏 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑 𝑥 = 𝐹 ( 𝑏 ) − 𝐹 ( 𝑎 ) ∫ a b f(x)dx=F(b)−F(a), 여기서 𝐹 ( 𝑥 ) F(x)는 𝑓 ( 𝑥 ) f(x)의 부정적분 예: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 f(x)=x 2 의 정적분: ( \int_0^1 x^2 , dx = \left